Las matemáticas de COVID (I): ¿por qué la transmisión se dispara en algunas zonas?

Estamos siguiendo la evolución de la enfermedad con un indicador de variación lenta (Rt), lo que nos oculta los saltos que se producen a bajo nivel, y son la causa de su impredecibilidad.

Incertidumbre es la palabra que mejor define la situación que estamos viviendo. En cualquier momento la propagación del virus puede agravarse, provocando nuevas restricciones que harán imposible cualquier plan que tuviésemos en mente. Nadie parece ser capaz de decir cuándo comenzará la próxima ola, o la magnitud del próximo estallido. Entre ola y ola también nos sorprenden las explosiones repentinas de casos en ciertas zonas . Da la impresión de que es imposible controlar el curso de la epidemia.

No podremos convivir con el COVID-19 hasta que seamos capaces de proteger masivamente a la gente de ser infectada . La propagación de esta enfermedad es un fenómeno de crecimiento exponencial y las exponenciales son diabólicas.

En primer lugar, debemos aclarar que no todo lo que crece muy rápido es una función exponencial . Los periodistas parecen no conocer ningún otro tipo de función matemática con capacidad de crecer espectacularmente y definen todo crecimiento rápido como “exponencial”, para mi consternación.

Aquí se puede ver que una función cuadrática puede, efectivamente, mostrar un crecimiento mucho más agresivo que una exponencial.

Función cuadrática vs. función exponencial.

Bueno, he hecho un poco de trampa mostrando solo los primeros ocho valores de la función (y seleccionando una base adecuada para la exponencial). Las exponenciales solo muestran toda su capacidad de devastación si les dejas un poco de tiempo para hacer funcionar su magia. Echemos un vistazo a las mismas funciones cuando representamos más valores.

Función cuadrática vs. función exponencial. (Gráfica elaborada por la autora)

Solo el tiempo nos permite conocer todo el potencial de una exponencial. Y en el momento en que nos damos cuenta ya es casi imparable.

¿Qué tienen que ver las funciones exponenciales con la transmisión de enfermedades?

Cuando analizamos el “Número de Reproducción” de COVID-19 (también conocido como Rt) estamos comparando el número de casos nuevos de una semana (o el periodo temporal que elijamos) con el número de casos nuevos de el periodo anterior . Las matemáticas que se pueden ver en la literatura científica son más complicadas, con el uso del cálculo diferencial, pero usaré un modelo simplificado con solo divisiones.

Imaginen que tenemos los siguientes datos sobre el número de nuevos casos detectados en semanas sucesivas. A medida que la enfermedad crezca entre la población, llegará a más y más personas .

Nuevos casos por semana.

Si calculamos la proporción entre los casos detectados en una quincena y los casos detectados la quincena anterior tendremos una idea de la rapidez con que se extiende la enfermedad. En nuestro ejemplo, esta proporción es Rt = 1,5.

He usado 1,5 como Rt por simplicidad en los siguientes ejemplos, pero si están familiarizados con los datos que hemos seguido en los últimos meses, este es un valor muy preocupante. Cualquier cosa por encima de 1 nos dice que la enfermedad está aumentando su capacidad de propagación y en las próximas semanas tendremos aún más personas infectadas cada semana que las semanas anteriores. Necesitamos obtener un Rt por debajo de 1 para estar seguros de que la enfermedad está empezando a retroceder, y la presión sobre nuestro sistema de salud se alivia un poco.

Si representamos los datos en la tabla obtenemos el siguiente gráfico:

Número de nuevos casos por semana con Rt = 1,5.

Lo cual, para los que no temen a las matemáticas, corresponde a la función:

He aquí nuestra exponencial. Veamos cómo aparece.

Mecanismos de transmisión de las enfermedades infecciosas

Para enfrentarnos a una enfermedad infecciosa el primer paso es descubrir los mecanismos de contagio. Cómo pasan los patógenos de una persona infectada a una sana . Como con cualquier otra enfermedad, los científicos han estado estudiando los medios de transmisión de COVID-19 desde el comienzo del brote para identificar las mejores medidas para evitar el contagio.

Ahora está claro que el virus se transmite principalmente a través del aire, aunque también puede infectarnos al entrar en nuestro sistema digestivo. Pero centremos nuestra atención en la principal fuente de infección: compartir el aire que respiramos con una persona infectada .

Para infectar a otras personas la concentración de virus en el aire debe ser relativamente alta por lo que el contagio solo tiene lugar en situaciones en las que las personas se mantienen juntas durante más de 10–15 minutos sin mascarilla . Por lo tanto, no nos podemos infectar en cualquier lugar ni por cualquier persona. En la gran mayoría de los casos, las personas contraen la enfermedad por contacto con personas con las que mantienen una relación directa .

Para explicar la propagación del COVID-19 centraré mi atención en todas nuestras relaciones habituales que representaré con la ayuda de círculos. He aquí el aspecto que tiene una persona.

Representación de una persona (círculo central) con toda la gente con la que normalmente se relaciona. He utilizado colores para cada grupo.

Ahora que hemos visto esta particular forma de representar personas, veamos cómo se transmite el COVID-19 entre nosotros y el tipo de exponenciales a los que nos enfrentamos.

Comprender lo que está sucediendo en el nivel macro y micro

Desde los primeros días de la pandemia estamos convencidos de estar luchando contra una “curva”, lo que puede resultar muy desconcertante para la mayoría de nosotros. No sé cómo, pero la COVID-19 ha conseguido dos curiosos logros que hace un año parecían imposibles: que todo el mundo se lave las manos más de diez veces al día y que la gente que siempre vio las matemáticas como una especie de amenaza esté obsesionada con una gráfica.

Esta famosa “curva” representa el número de nuevos casos que hemos detectado cada día. Es el indicador que nos permite detectar si está aumentando la velocidad de aparición de nuevos casos.

Pero los nuevos casos no aparecen espontáneamente. Hemos concluido que los nuevos casos ocurren porque una persona ha estado en contacto con una persona infectada que pertenece a su “círculo de relaciones” .

Ahora intentaré describir cómo se propaga la enfermedad a lo largo de seis semanas sucesivas. En nuestro ejemplo Rt = 1,5, por lo que cada persona infectada en la semana N generará 1,5 personas infectadas en la semana N+1. Como no podemos tener la mitad de una persona infectada, nuestros enfermos infectan a uno o dos de sus amigos/compañeros/parientes . Las personas enfermas son representadas con el círculo interior negro, mientras que los círculos de las personas sanas son blancos. Tenemos dos casos iniciales, y por cada enfermo, habrá una o dos personas recién infectadas en su círculo de parientes, que he pintado de negro.

Modelo exponencial suave de propagación de enfermedades. En cada etapa sucesiva las personas infectadas transmiten la enfermedad a una o dos personas de su entorno. El número en la parte inferior es el número total de nuevos casos cada semana, mientras que el número en azul al lado de cada “persona” es el número de nuevos infectados causados por cada una.

Asumimos un período de incubación de una semana, y que las personas solo se vuelven infecciosas cuando la enfermedad se activa , así que en cada semana representamos a las personas que se infectaron la semana anterior.

He llamado a esta forma de pensar “exponencial suave” porque nos hace pensar que estamos manejando una exponencial muy “civilizada” que evoluciona lentamente. Entonces, ¿ por qué nos sorprende continuamente un aumento explosivo del número de casos en ciertas áreas ?

Porque la realidad es muy diferente de la frase con la que normalmente explicamos el significado de Rt . Se puede leer en todas partes que Rt nos dice cuántos casos nuevos son inducidos por cada caso anterior. Así que podemos pensar que si Rt es 1,5 cada persona infectada está transmitiendo COVID-19 a 1 o 2 personas más.

Lo que realmente está sucediendo es muy distinto. A partir del estudio detallado de los individuos infectados, sabemos que muchos enfermos no transmiten el COVID-19 a nadie, mientras que algunos “supercontagiosos” pueden infectar a 5, 10 o incluso 20 personas . El por qué algunas personas son tan eficaces en la transmisión de esta enfermedad mientras que otras no contagian a nadie es un misterio, pero es exactamente lo que está sucediendo.

La literatura científica sobre COVID-19 también crece exponencialmente, incluyendo estudios sobre contagio. No sé si en este momento mi información está obsoleta, pero permítanme usar en nuestro ejemplo la referencia de que solo 1/3 de las personas infectadas es contagiosa . Por otro lado, estas personas son muy efectivas en la transmisión y pueden infectar a muchos de sus parientes, compañeros y amigos.

En la siguiente imagen he representado cómo esta distribución desigual del contagio puede generar el mismo valor agregado en los contagios, pero con dinámicas muy diferentes a nivel micro.

Modelo exponencial “a saltos” de propagación de enfermedades. En cada etapa sucesiva, describimos cómo las personas infectadas transmiten la enfermedad a varias personas entre sus parientes y amigos. Solo los individuos contagiosos (rodeados por un cuadrado) pueden infectar a otros. El número que aparece en la parte inferior es el número total de nuevos casos cada semana, mientras que el número en azul junto a cada “persona” contagiosa es el número de nuevos infectados causadas por cada una.

A través de este ejemplo se puede ver cómo podemos tener la impresión de estar frente a una exponencial “civilizada”, si solo prestamos atención al valor agregado de los contagios (las cifras al pie de la imagen). Pero a nivel micro hay margen para grandes diferencias en la evolución de la infección en cada área o en cada grupo social.

¿Por qué diferentes zonas dentro de la misma provincia pueden tener una evolución muy diferente con el tiempo?

Así pues, al ser Rt un valor agregado (de hecho, es un promedio de muchos valores individuales y dispares), nos oculta la enorme variabilidad en el número de contagios generados por diferentes individuos . A continuación, veremos un par de escenarios de bajo nivel, donde se aprecia el impacto de los eventos individuales de contagio en la evolución de toda un área. Hay que recordar el impresionante efecto multiplicador con el tiempo de las funciones exponenciales.

“Caso Benigno” de propagación de una enfermedad. Aproximadamente 1/3 de las personas infectadas son contagiosas, y contagian a entre 3 y 6 personas, más o menos.

Como antes, empezamos con 2 personas infectadas y observamos cuántos nuevos se generan a partir de ellas en el plazo de seis semanas. Primero tenemos un caso benigno, con solo una persona contagiada en la segunda semana. Seis semanas después del contagio, estos 2 casos iniciales han generado un total de 2+3+5+8+15+17= 50 casos y al final tenemos 17 personas listas para infectar a otras .

Imaginen ahora una situación diferente, el “caso problemático”. En la segunda semana, tenemos 2 individuos muy contagiosos, en lugar de uno, y en la tercera etapa, tenemos una persona supercontagiosa que induce 9 nuevos casos. Echemos un vistazo al efecto con el tiempo si tenemos estas personas altamente contagiosas en las primeras semanas.

“Caso preocupante” de propagación de una enfermedad. Aproximadamente 1/3 de las personas enfermas son contagiosas, and pueden contagiar a entre 3 y 9 personas. En las primeras etapas tenemos 3 personas muy contagiosas, que generan 5, 7 y 9 nuevos casos.

En este “caso preocupante”, sumamos 2+3+12+24+32+40 = 113 nuevos casos inducidos por los dos primeros. Hay una enorme diferencia con el caso benigno, y esa diferencia se amplificará con el tiempo, incluso si no tenemos ya ningún otro evento de supercontagio.

Veamos la evolución de los nuevos casos y los casos acumulados en ambos ejemplos.

Evolución con el tiempo en el número de nuevos casos para un caso preocupante y otro benigno de propagación de una enfermedad. El caso preocupante se genera cuando tenemos dos o tres personas ligeramente más contagiosas en las primeras etapas. El impacto unas semanas después es espectacular. Éste es el origen de crecimientos “explosivos” repentinos e inesperados en el número de casos en áreas determinadas.

La diferencia en la evolución de los casos acumulados entre la situación “problemática” y la “benigna” es aún más impresionante que la de evolución de nuevos casos.

Conclusiones

Se dice que las estadísticas son como los bikinis: ocultan la parte más interesante de lo que supuestamente muestran. La tasa de transmisión (Rt) es un valor agregado que nos oculta la enorme variabilidad en contagios y nuevos casos que realmente se están dando a nivel micro. Los humanos estamos limitados en el número de variables que podemos manejar a la vez, por lo que intentamos resumir las situaciones con un número simple.

Está bien seguir esos KPIs globales. Algunas decisiones se deben tomar a partir de números generales agregados, pero no podemos ignorar que la realidad es mucho más compleja de lo que una simple curv a puede hacernos pensar.

Hay tres hechos clave:

Foto: NOAA

Esto hace que la transmisión a nivel individual sea una cuestión de azar, o más precisamente, de algo que puede ocurrir millones de veces en cualquier instante. Tantas como oportunidades tenemos de encontrarnos con otras personas en diferentes situaciones y lugares cada día . Y estas oportunidades generan tremendas diferencias en la tasa de transmisión entre diferentes grupos sociales y áreas geográficas. Esto, combinado con la “magia” de los exponenciales es el origen de los brotes inesperadamente intensos en ciertas áreas.

Pero no hay que olvidar que los humanos se mueven, se comunican y viven. Eso implica que para cuando detectamos que se disparan los casos en una zona, otra explosión está gestándose en otro lado . Desapercibida hasta que alcanza cierta magnitud, quizá relacionada con la primera, o probablemente sin ninguna relación.

No es un complot, no es una maldición. Es simplemente un sistema altamente no-lineal con millones de elementos interconectados y muchas incógnitas . Más o menos como muchos otros aspectos de nuestra vida de los que no nos damos cuenta.

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